Форма входа

Поиск



Счетчик посетителей

Рейтинг@Mail.ru

Разработано jtemplate модули Joomla

Булева Алгебра

Как и для любой другой области техники, для анализа цифровых схем был создан свой подраздел математики. Этот математический аппарат получил название алгебры логики. Иногда его еще называют Булевой Алгеброй. Алгебра логики является одним из подразделов математической логики.


Основным понятием алгебры логики является высказывание.
Высказывание - это некое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно.
Любое высказывание можно обозначить символом x и считать, что x=1, если высказывание истинно, и x=0, если высказывание ложно.

Логическая переменная - это такая величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Логическая функция (второе название - переключательная функция) - это функция вида f(x1, x2, x3, …, xn), которая так же, как и ее аргумент (x1, x2, x3, …, xn) может принимать лишь два значения: 0 или 1.

При технической реализации переключательных функций логические переменные x1, x2, x3, …, xn отождествляются с входными сигналами логических элементов, а значения функции y=f(x1, x2, …, xn) - с выходными сигналами.

Логические элементы в общем случае должны иметь не менее одного входа и не менее одного выходов. Верхняя граница на количество входов и выходов теоретически равна бесконечности. Любую логическую функцию можно задать при помощи таблицы истинности. Задать логическую функцию - это означает указать значение функции (0 или 1) при всех возможных комбинациях значений аргументов.

Каждую конкретную комбинацию значений аргументов называют набором. При n аргументах существует 2n наборов. Для краткости набор записывают в виде двоичного числа, цифрами которого являются значения переменных, расположенных в определенном порядке. Двоичное число, представляющее набор, называют номером набора и обозначают ? (альфа).

При n аргументах совокупность всех значений функции на 2n наборах содержит 2n нулей и единиц. Каждой функции соответствует своя комбинация этих 2n значений. Общее количество всех возможных функций n аргументов (т. е. Количество различных комбинаций из 2n нулей и единиц) определяется числом N=(2n)n .

 

Логические функции одной переменной

Все возможные функции одной переменной приведены в следующей таблице:

Nxf0f1f2f3
0 0 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1

Из таблицы видно, что:
Функция f0(x) является константой нуля (она равна нулю при любых значениях x).
Функция f3(x) является константой единицы (она равна единице при любых значениях x).
Функция f1(x), повторяющая значения логической переменной - тождественная функция.
Функция f2(x), противоположная по своим значениям x - логическое отрицание или функция НЕ ( f2(x) = x ). Логическая функция НЕ реализуется логическим элементом НЕ, представляющим собой логический инвертирующий ключ (инвертор).

Так как в нашем случае n=1, то число наборов переменных 2n = 2, а число переключательных функций N = (2n)n = 4.

 

Логические функции двух переменных.

В случае двух переменных n=2, поэтому число наборов переменных 2n = 4, а число всех возможных переключательных функций N = (2n)n = 16.

 

В следующей таблице приведены все 16 функций двух аргументов fk(x1, x2).

Nx1x0f0f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15
0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0< 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Рассмотрим теперь каждую из представленных выше функций подробнее:





Музыка на праздниках